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おっさんの数学日記

おっさんプログラマが勉強していった数学のこととかを書いていきます。学習メモです。

数について (3) 実数の大小関係

数と式

 実数の大きさを表す記号について。

不等号

 実数aがbよりも大きいときはa > bと書きます。逆にaがbより小さいときはa < bと書きます。

 このときの記号「>」「<」を不等号といい、次のような法則があります。

実数の大小関係の基本法則

(1) 任意の実数a, bについて、次のどれかひとつが成り立ちます。

a < b, a = b, a > b

(2) a < b ⇔ a - b < 0
  a = b ⇔ a - b = 0
  a > b ⇔ a - b > 0

(3) a > 0, b > 0 ⇒
 a + b > 0, ab > 0, {\frac{a}{b}} > 0

(⇒は「ならば」という意味で、「⇔」は両方にそれが成立していることを示します。a ⇒ bは「aならばb」、a ⇔ bは「aならばb、bならばa」となります)

 不等号はプログラムにもよく出てくるのでなじみ深いですね。

 そして、上記のことから次の性質が導かれます。

実数a, b, c, dについて (1) a > b, b > c ⇒ a > c

(2) a > b ⇒ a + c > b + c, a - c > b - c

(3) a > b ⇒

 c > 0のとき、ac > bc, {\frac{a}{c}} > {\frac{b}{c}}

 c < 0のとき、ac > bc, {\frac{a}{c}} < {\frac{b}{c}}

(4) a > b, c > d ⇒ a + c > b + d

 ある意味そのまま、元の状態に同じ数を足したり引いたりしても、関係は変わらないということですね。

 そして実数aについてa^2の場合を考えると、a > 0のときもa < 0のときもa^2 > 0になります。

 またa^2 = 0になるときはa = 0でしかありません。

実数aに対して、a^2 ≧ 0
a^2 = 0 となるのはa = 0のときに限る

 ということは、実数a, bについてa, bともに正でありa > bのとき、それを累乗しても関係性は変わらないので

a > b ⇔ a^2 > b^2

になります。

 これがa, bともに負だと、

a > b ⇒ a^2 < b^2

となったり、

a > b ⇒ a^3 > b^3

となったりします。数の大小は絶対値で測るので、符号が変わってしまう場合はめんどい。

絶対値

 数直線上で原点(0)から点A(a)までの距離のことを絶対値といい、記号|a|で表します。

f:id:kagerou_ts:20160816230454p:plain

でいうと、例えば1の絶対値|1|は1、-1の絶対値|-1|も1になります。

絶対値は原点からの距離なので、必ず0または正の値になります。

|a|についてはつまり次のようになります。

a > 0 のときは a

a = 0 のときは 0

a < 0 のときは、aの符号を正にした値a

また、次の式も成り立ちます。

|a| ≧ 0, |-a| = |a|, |a|^2 = a^2, |ab| = |a||b|, |{\frac{a}{b}}| = {\frac{|a|}{|b|}}

等号、不等号の種類

 等号、不等号の種類を以下にまとめます。

記号 意味
a > b aはbより大きい
a < b aはbより小さい
a = b aはbと同じ
a ≧ b aはbより大きいか同じ (aはb以上)
a ≦ b aはbより小さいか同じ (aはb以下)

数について (2) 素因数分解

数と式

 素因数分解というやつについてです。

素数、因数、素因数

 まず、自然数の2, 3, 5, 7, 11のように、1とその数でしか割れない数を素数

 それで、例えば60という数字は「60 = 4 x 15 = 2 x 2 x 3 x 5」から成り立っていて、この2や3や5が因数または約数

 c = a x b (記号省略してabと書いたり、「・」で繋げてa・bとしたりもする)となっていたとき、aがcの約数であり、bもcの約数。

 cはaおよびbの倍数 (aをb倍するとcになる)といいます。

 そしてこの数を構成している素数が素因数(素数で因数)であり、素因数に分解していくから素因数分解となります。

 具体的にどうやるかというのはひたすら割っていく。

2)\underline{60}
2)\underline{30}
3)\underline{15}
     \underline{5}

 そして2, 2, 3, 5という部品を取り出して、{60 = 2^2 \times 3 \times 5}とする。

公約数

 二つ以上の数があるときに、共通する約数を公約数、その公約数で最大のものを最大公約数といいます。

 つまり両方の数を割ることができる数ということですね。

 例えば60と108という数があるとき、それぞれの約数は

 60 = 2 x 2 x 3 x 5
 108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3

 となっていて、そこから共通している約数を取り出し、公約数を求めると

2 x 3 = 6  2 x 2 x 3 = 12

 となります。

 このうち12が最大なので、最大公約数になります。

公倍数

 二つ以上の数があるときに、その数の共通する倍数を公倍数、その公倍数で最小のものを最小公倍数といいます。

 これは両方の数で割ることができる数字になります。

 また60と108で見てみると、

 60 = 2 x 2 x 3 x 5
 108 = 2 x 2 x 3 x 3 x 3

 というのが因数としてあるので、共通していない部分を含まないといけない。

 なので、2を2つ、3を3つ、5を1つ含めて、

 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x 5 = 540

 が最小公倍数になります。

 540 = 60 x 3 x 3または108 x 5となるので、共通していない3,3,5を追加した格好になります。

分数の計算

 分数を計算するとき、a, b, c, dを0でない数として、

 \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

 \frac{a}{b} \div\frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

 となります。

約分

 分子と分母が共通した数 (公約数) で割れるとき、それで割ってしまうことを約分と言います。

 \frac{5}{10} = \frac{1}{2}というように。

 約分して数は変わりますが、その数値としての大きさは変わりません。1/2も5/10も同じ半分です。

 また共通の因数がない、分母・分子が互いに素であるときは既約分数といいます。

通分

 分数同士の足し算、引き算をするときに、値が変わらないように分母を揃えて計算します。そのときに分母を揃えることを通分といいます。

 \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} + \frac{1 \times 2}{3 \times 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

 という感じで分母が最小公倍数になるように、それぞれの分子と分母にかけ算をしていきます。

 分子と分母に同じ数を掛けることは、約分の逆ですね。1を掛けていることになるので数としての大きさは変わりません。3/3も2/2も1です。

数について (1) 実数

数と式

 さて数について。だいたいがそうですね、という感じでまだこのあたりはついていける。

実数について

 要するに数の種類。整数とか分数とか、数学がっつりでなくても聞いたことがあるというもの。

 次のような種類に分けられます。

種類
実数 有理数 整数 自然数
(正の整数)
1, 2, 3, 4 ...
0 0
負の整数 -1, -2, -3, -4 ...
分数 {\frac{1}{2}}
無理数 {\sqrt{2}}, πなど

 有理数はだいたいなじみ深い感じです。無理数については{\sqrt{2}}やπなど、循環しない無限小数というものになります。

循環しない無限小数とは

 例えば、1/2を小数で現すと0.5になります。

 これが割り切れないものだとしても、1/3 = 0.3333...や57/44 = 1.29545454...のようにどこかで同じ数字の列の繰り返しになります。これが循環小数

 しかし{\sqrt{2}}については、これを小数で現すと1.414213...と繰り返さない数字の列が続いていくことになり、これが循環しない小数=無限小数になります。

 π(円周率) = 3.141592...は有名ですね。延々と計算されていることで。

実数の計算

 その実数の計算については次のような法則があります。

 a, b, cという実数について、

法則 内容
交換法則 a + b = b + a
ab = ba
結合法則 (a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
分配法則 a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc

 交換法則は加算および乗算する順番が入れ替わっただけ、結合方向は()のくくりがずれただけです。

 分配法則が少し肝で、要するに()の中を加算してからa倍することと、それぞれをa倍してから加算することは同じというもの。

数直線

 原点に0をおいて、そこから左右に目盛りを設定していった直線。 f:id:kagerou_ts:20160807183454p:plain

 ざっくり書くとこんな感じの線です。

 ここでO原点点A実数aが対応するとき、aをAの座標といいます。

 Aの座標はA(a)という形で表します。

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変更履歴

2016/8/7 初出掲載

弱ったおっさんプログラマが数学をやることになってしまった件

その他

 どうも、プログラマをぼちぼちやっているかげろといいます。

 このサイトはタイトルそのまま、数学をやることになってしまったおっさんの学習記録です…

このサイトについて

 プログラマといっても今までそう数学に絡むことのないところを通ってきていたのですが、ここにきてがっつり絡んできてしまいましてね…

 テキストなどを買って勉強していっているのですが、せっかくなのでそれらについてまとめていくサイトも作ってみようかと思って立ち上げてみました。

 「学習成果を出すには人に教えるのが一番早い」といういつものそれですが、自分の学習記録まとめなだけでもあります。

 ほんとにアレですよ、高校数学とか将来役にたたねーんじゃねーのとか言ってる奴ちょっとって感じですよ…(震え声

 そういうわけでいろいろ拙いところはありますが、勉強したことの記録として残していきたいと思っているものです。

 ぼちぼちとがんばっていきたいと思っています。はい。

参考にしている書籍

今のところはこのシリーズ。

 学習記録というか、こちらの本の問題、例題などを解いていった自分なりの解釈というか。

 そんな感じで進めています。

リンクなど

数学記号の表 - Wikipedia

Markdownでの数学記号の書き方 - はてなブログカスタマイズメモ
自分メモです。

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 プログラムとかの話題を分けてみた

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 あとは息抜き的に、漫画やラノベの感想をつらつら書き連ねているサイト

 怒濤の詰んどく解消日記

もあります。

 もしご興味あれば是非覗いてみてください。